背景与问题

建模准备

  1. 日租金和最大运量
$$ \begin{array}{c|ccc} \hline \text { 船 } \text { 型 } & \text { 小 } & \text { 中 } & \text { 大 } \\ \hline \text { 日租金 (英镑) } & \mathbf{4 . 0} & \mathbf{6 . 2} & \mathbf{8 . 0} \\ \hline \text { 最大运量 }\left(\text { 米 }^{3}\right) & 5 \times 10^{5} & 10^{6} & 10^{7} \\ \hline \end{array} $$
  1. 燃料消耗（英镑/千米）
$$ \begin{array}{c|ccc} \hline \text { 冰山体积(米) } & 10^{5} & 10^{6} & 10^{7} \\ \hline 1 & 8.4 & 10.5 & 12.6 \\ 3 & 10.8 & 13.5 & 16.2 \\ 5 & 13.2 & 16.5 & 19.8 \\ \hline \end{array} $$
  1. 融化速率（米/天）

建模目的：选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较

模型假设

建模分析

模型建立

  1. 冰山融化规律

$r$ 是 $u$ 的线性函数; $d<4000$ 时 $u$ 与 $d$ 成正比 $d>4000$ 时 $u$ 与 $d$ 无关.

$$ \begin{aligned} r=\left\{\begin{array}{l} a_{1} d(1+b u), 0 \leq d \leq 4000 \\ a_{2}(1+b u), d>4000 \end{array}\right.\\ a_{1}=6.5 \times 10^{-5}, a_{2}=0.2, b=0.4 \end{aligned} $$

航行 t 天，d = 24ut，第t天融化速率： $$ r_{t}=\left\{\begin{array}{l} 1.56 \times 10^{-3} u(1+0.4 u) t, 0 \leq t \leq \frac{1000}{6 u} \\ 0.2(1+0.4 u), \quad t>\frac{1000}{6 u} \end{array}\right. $$

冰山初始半径 $\boldsymbol{R}_{0}$, 航行 $\boldsymbol{t}$ 天时半径 $R_{t}=R_{0}-\sum_{k=1}^{t} r_{k}$ 冰山初始体积 $V_{0}=\frac{4 \pi}{3} R_{0}^{3} \boldsymbol{t}$ 天时体积 $V_{t}=\frac{4 \pi}{3} R_{t}^{3}$ 总航行天数 $T=\frac{9600}{24 u}=\frac{400}{u}$ 到达目的地 时冰山体积

  1. 燃料消耗 燃料消耗 $q_{1}$ (英镑/千米)，$q_{1}$ 对 $u$ 线性, 对 $\log _{10} V$ 线性 $q_{1}=c_{1}\left(u+c_{2}\right)\left(\log _{10} V+c_{3}\right), \quad c_{1}=0.3, c_{2}=6, c_{3}=-1$

选定 $u, V_{0}$, 航行第 $t$ 天燃料消耗 $q$ (英镑/天) $$ \begin{aligned} q\left(u, V_{0}, t\right) &=24 u \cdot c_{1}\left(u+c_{2}\right)\left[\log _{10} V\left(u, V_{0}, t\right)+c_{3}\right] \\ &=7.2 u(u+6)\left[\log _{10} \frac{4 \pi}{3}\left(\sqrt[3]{\frac{3 V_{0}}{4 \pi}}-\sum_{k=1}^{t} r_{k}\right)^{3}-1\right] \\ \text { 燃料消耗总费用 } \quad & Q\left(u, V_{0}\right)=\sum_{t=1}^{T} q\left(u, V_{0}, t\right) \end{aligned} $$

  1. 运送每立方米水费用

冰山初始体积 $V_{0}$ 的日 租金 $f\left(V_{0}\right)$ (英镑) 航行天数 $T=\frac{400}{u}$

拖船租金费用 $R\left(u, V_{0}\right)=f\left(V_{0}\right) \cdot \frac{400}{u}$ 总燃料消耗费用 $$ Q\left(u, V_{0}\right)=\sum_{t=1}^{T} 7.2 u(u+6)\left[\log _{10} \frac{4 \pi}{3}\left(\sqrt[3]{\frac{3 V_{0}}{4 \pi}}-\sum_{k=1}^{t} r_{k}\right)^{3}-1\right] $$ 冰山运输总费用 $S\left(u, V_{0}\right)=R\left(u, V_{0}\right)+Q\left(u, V_{0}\right)$

模型求解

选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低求 $u, V_{0}$ 使 $Y\left(u, V_{0}\right)$ 最小

$V_{0}$ 只能取离散值，经验公式很粗糙，取几组 $\left(V_{0}, u\right)$ 用枚举法计算

$$ u=4 \sim 5\left(\text { 千米/小时), } V_{0}=10^{7}\left(\text { 米 }^{3}\right), Y\left(u, V_{0}\right)\right. \text { 最小 } $$

结果分析

大型拖船 $V_{0}=10^{7}($ 米 3 ), 船速 $u=4 \sim 5$ (千米/小时), 冰山 到达目的地后每立米水的费用 $Y\left(u, V_{0}\right)$ 约 $0.065$ (英镑 $)$

虽然 $0.065$ 英镑略低于淡化海水的成本 $0.1$ 英 镑, 但是模型假设和构造非常简化与粗䊁。 由于未考虑影响航行的种种不利因素, 冰山 到达目的地后实际体积会显著小于 $V\left(u, V_{0}\right)$ 。 有关部门认为, 只有当计算出的 $Y\left(u, V_{0}\right)$ 显著 低于淡化海水的成本时, 才考虑其可行性。

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